Matemática do Ensino Médio: Subconjuntos e conjunto das partes
Conjuntos
1.Conjuntos iguais
↳ ⚞ Dois conjuntos são iguais quando possuem os mesmos elementos ⚟
Exemplos: A = {a, b, c} | B = {c, b, a}
A = B
(podemos perceber que os conjuntos A e B possuem os mesmos elementos, apenas em uma ordem diferente, sendo assim A e B são conjuntos iguais. Também podemos dizer que o conjunto A está contido no conjunto B, A ⊂ B, e que o conjunto B está contido no conjunto A, B ⊂ A.)
C = {1, 2} | D = {1, 2, 2, 2}
C = D
(os conjuntos C e D possuem os mesmos elementos, mesmo que o conjunto D tenha mais elementos continua tendo exatamente os mesmos elementos do conjunto C.)
2.Subconjuntos
↳ ⚞ Um conjunto A é subconjunto de B se todo elemento de A é também um elemento de B ⚟
Exemplos: A = {a, b} | B = {a, b, c}
A ⊂ B
(o símbolo ⊂ significa "está contido". Existem 3 possíveis leituras para "A ⊂ B" sendo elas: "A está contido em B", "A é subconjunto de B" e "A é parte de B". Também podemos colocar "B ⊃ A" que significa que "B contém A", o símbolo "⊃" significa "contém".)
Podemos perceber que os elementos do conjunto A são parte do conjunto B, sendo assim, A é subconjunto de B. Podemos mostrar isso mais claramente em forma de diagrama ↡
Observação: Se o conjunto A não tiver todos os seus elementos em B então não será um subconjunto, por exemplo:
A = {2, 3, 4} | B = {4, 5}
A ⊄ B B ⊄ A
(os conjuntos A e B possuem apenas 1 elemento em comum, o número 4, então A não está contido em B, nem o contrário. Sendo assim, não podemos dizer que um é subconjunto do outro, então dizemos que A ⊄ B, "A não está contido em B", B ⊄ A, "B não está contido em A", o símbolo ⊄, como já devem ter percebido, significa "não está contido".)
Em forma de diagrama percebemos que nem A é subconjunto de B e nem B é subconjunto de A (na matemática isso é chamado de "intersecção de conjuntos") ↡
(no diagrama em vermelho temos os elementos que pertencem a A apenas, no diagrama azul os elementos de B apenas e no roxo, que é aonde ocorre a intersecção dos conjuntos, temos os elementos que pertencem a A e B.)
3.Conjuntos disjuntos
↳ ⚞ Chamamos de conjuntos disjuntos aqueles conjuntos que não possuem nenhum elemento em comum ⚟
Exemplos: A = {1, 2} | B = {3}
A e B são conjuntos disjuntos
(os conjuntos não possuem nenhum elemento em comum, por isso são chamados de conjuntos disjuntos.)
Em forma de diagrama percebemos que nem A é subconjunto de B e nem B é subconjunto de A, também percebemos que os dois conjuntos não se tocam ↡
4.Propriedades da inclusão
↳ ⚞ Propriedade 1 ⚟
A propriedade 1 diz que ∅ ⊂ A (vazio está contido em A), o conjunto A, neste caso, se refere a todos os conjuntos.
Exemplos: A = {a, b, c} | B = {c, b, a}
∅ ⊂ A | ∅ ⊂ B
↳ ⚞ Propriedade 2 ⚟
A propriedade 2 diz que A ⊂ A (um conjunto A sempre está contido nele mesmo), o conjunto A, neste caso, se refere a todos os conjuntos.
Exemplos: A = {a, b, c} | B = {c, b, a}
A ⊂ A | B ⊂ B
5.Conjunto das partes
↳ ⚞ Seja um conjunto A, o conjunto das partes de A, representado por P(A), é o conjunto formado por todos os subconjuntos de A ⚟
Exemplo: A = {1, 2} → Subconjuntos de A → {1}, {2}, {1, 2} (propriedade 2) e ∅ (propriedade 1)
P(A) = {{1}, {2}, {1, 2}, ∅}
- Nº de subconjuntos: Se A possui n elementos, então o nº de subconjuntos de A é 2ⁿ.
Exemplos: A = {1, 2} → Nº de subconjuntos - 2ⁿ - n = 2 | 2ⁿ = 2² = 4 → {1}, {2}, {1, 2} e ∅
P(A) = {{1}, {2}, {1, 2}, ∅}
B = {1, 2, 3} → Nº de subconjuntos - 2ⁿ - n = 3 | 2ⁿ = 2³ = 8 → {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3} e ∅
P(A) = {{1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}, ∅}
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